ANALISI MATEMATICA II

L'isegnamento ANALISI MATEMATICA 2 è una delle attività formative di base del corso di laurea in Ingegneria Fisica, e consente agli/alle studenti di affrontare un problema matematico nelle sue
varie forme e con uso coerente del linguaggio matematico corrente.
L'obbiettivo formativo specifico dell'insegnamento è la formazione delle conoscenze e delle competenze riguardanti i fondamenti teorici e applicativi basilari del calcolo differenziale e integrale, con estensione al caso delle funzioni di piu variabili. Le nozioni impartite costituiranno la base per affrontare le trattazioni dei modelli matematici sviluppati negli altri insegnamenti previsti nel curriculum del Corso di Laurea.

1. Conoscenza e comprensione
i) Conoscere i concetti base dell'Analisi Matematica avanzata.
ii) Conoscere e saper utilizzare il calcolo differenziale in più variabili, comprendere le nozioni di limiti, derivate e integrali in piu' variabili.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
i) Saper ragionare in modo logico e saper utilizzare il simbolismo matematico in modo appropriato.
ii) Comprendere l'analisi matematica in piu' variabili e saper impostare una strategia per risolvere problemi.
iii) Saper riconoscere il ruolo della matematica nelle altre scienze.
3. Capacità di giudizio
i) Saper valutare la consistenza logica dei risultati, sia in ambito teorico sia nel caso di problemi matematici concreti.
ii) Saper riconoscere eventuali errori tramite un’analisi del metodo applicato e tramite controllo dei risultati ottenuti.
iii) Saper valutare la possibilità di approcci alternativi di fronte a problemi di tipo matematico.
4. Abilità comunicative
i) Saper comunicare le conoscenze apprese utilizzando una terminologia appropriata, anche in forma scritta.
ii) Saper interagire con il docente e con i compagni in modo rispettoso e costruttivo, formulando domande coerenti e proponendo idee alternative per risolvere i problemi trattati.
5. Capacità di apprendimento
i) Saper prendere appunti in maniera efficace, saper selezionare e raccogliere le informazioni a seconda della loro importanza e priorità.
ii) Saper consultare i testi indicati dal docente, e saper individuare fonti di riperimento alternative, anche attraverso l'interazione con il docente.
iii) Saper sfruttare le nozioni imparate per svolgere correttamente un problema matematico.

Avere raggiunto gli obiettivi formativi di ANALISI MATEMATICA 1 e ALGEBRA LINEARE. In particolare è opportuno che gli/le studenti sappiano pienamente padroneggiare i concetti e i metodi relativi al calcolo differenziale e integrale in una variabile e le nozioni di base dell'algebra lineare.

Calcolo differenziale in piu' variabili:
Richiami di calcolo vettoriale. Funzioni reali di due o più variabili reali. Domini. Limiti
e continuità. Derivabilità, derivabilità direzionale e differenziabilità. Piano tangente. Teorema del differenziale Totale (condizione sufficiente per la differenziabilità). Teorema di Schwarz.

Studio dei punti critici per funzioni in piu' variabili:
Richiami su forme quadratiche, matrici quadrate definite, semi-definite e indefinite e loro
caratterizzazione. Test degli autovalori. Estremi relativi liberi e punti di sella. Studio della natura
dei punti critici con la matrice Hessiana. Teorema di Weierstrass. Estremi vincolati su domini limitati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrali doppi e tripli:
Definizione di integrale doppio e proprietà. Domini normali rispetto agli assi. Formule di riduzione. Cambiamento di variabile negli integrali doppi. Coordinate polari
ed ellittiche. Formule di Gauss-Green. Formule per il calcolo dell’area di un dominio piano.
Integrali tripli e loro proprietà. Integrazione per fili e per strati. Baricentro di figure
solide. Teorema del cambiamento di variabili. Coordinate cilindriche e sferiche. Formule per il calcolo di volumi.

Curve e campi vettoriali:
Curve nel piano e nello spazio. Curve parametriche semplici, regolari, chiuse. Vettore tangente. Ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva. Integrali curvilinei (di prima specie) di funzioni continue. Curve orientate.
Campi vettoriali. Integral curvilinei (di seconda specie) di campi vettoriali: lavoro di un campo lungo una curva. Campi vettoriali conservativi e loro proprietà: potenziale di un campo vettoriale e lavoro di un campo vettoriale conservativo. Domini connessi e semplicemente connessi. Campi irrotazionali. Condizioni necessarie e sufficienti per capire se un campo vettoriale è conservativo.

Superfici:
Superfici cartesiane, parametriche e loro relazioni. Vettore normale e piano tangente ad una superficie. Curve e vettori tangenti coordinati, vettore normale in forma parametrica. Area di una superficie. Integrali di superficie. Superifici orientate, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie regolare e significato fisico. Flusso attraverso superfici chiuse (Teorema della divergenza). Orientazione del bordo di una superficie con bordo. Teorema di Stokes (o del rotore).

Equazioni Differenziali:
Equazioni differenziali del primo ordine: metodo della separazione delle variabili e formula risolutiva per equazioni lineari non omogenee. Teorema di esistenza e Unicità di Cauchy e intervallo massimale di esistenza. Equazioni di Bernoulli. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. L’esempio dell’oscillatore armonico.

M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica 2Ed, McGraw-Hill

M. Strani, Esercizi svolti di Analisi Matematica 2, Esculapio
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Esercizi di analisi matematica 2, Zanichelli
L. Moschini, R. Schianchi: Esericizi svolti di Analisi Matematica
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercizi di matematica, Vol. 2 (Tomi 1-4), Liguori

L'esame consiste in due prove scritte, una con esercizi riguardanti tutti gli argomenti studiati a lezione e una con domande teoriche e di applicazione (orale scritto). Nella due prove saranno valutate la correttezza dell’esposizione, la chiarezza e la completezza delle giustificazioni, la conoscenza del linguaggio scientifico e l'abilità nell'utilizzo degli strumenti dell'analisi matematica.
La prima prova scritta, composta da 5 esercizi, avrà durata di tre ore. Il voto finale della prova scritta sarà definito dalla somma dei voti dei singoli esercizi, che sono esplicitamente segnati accanto ad ogni esercizio, con un range di voto del singolo esercizio che va da 5 a 8. Il punteggio massimo raggiungibile nella prova scritta è 32.
La prova teorica, della durata di 90 minuti, sarà composta da 3 domande teoriche (dimostrazioni, definizioni, enunciati, applicazioni) a cui rispondere in forma scritta; il punteggio di ogni domanda è 10, le risposte verranno eventualmente discusse in seguito con il docente dopo la correzione della prova stessa.
Sono ammessi alla prova teorica coloro che hanno ottenuto almeno 16/30 alla prova scritta. La valutazione finale sarà una sintesi dei voti delle due prove (esercizi e teoria).

Lezioni frontali: teoria ed esercizi.
Nella piattaforma “moodle” di Ateneo sarà presente materiale didattico.

Italiano

Accomodamenti e Servizi di Supporto per studenti con disabilità o con disturbi specifici dell’apprendimento:
Ca’ Foscari applica la Legge Italiana (Legge 17/1999; Legge 170/2010) per i servizi di supporto e di accomodamento disponibili agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell’apprendimento. In caso di disabilità motoria, visiva, dell’udito o altre disabilità (Legge 17/1999) o un disturbo specifico dell’apprendimento (Legge 170/2010) e si necessita di supporto (assistenza in aula, ausili tecnologici per lo svolgimento di esami o esami individualizzati, materiale in formato accessibile, recupero appunti, tutorato specialistico a supporto dello studio, interpreti o altro), si contatti l’ufficio Disabilità e DSA disabilita@unive.it.

scritto e orale