MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICS

Obbiettivi formativi
Il corso viene erogato nel corso del primo semestre del primo anno e può essere considerate come il primo corso che gli studenti vedranno al loro ingresso nel Corso di Laurea. Esistendo la concreta possibilità di provenienze da corsi di Laurea di primo livello diverse, il corso è stato pensato per fornire gli strumenti matematici più avanzati che permettano gli studenti di affrontare con serenità i successive corsi avanzati di Fisica e Chimica Fisica. Pur non essendo un corso obbligatorio per tutti, è fortemente raccomandato per tutti coloro che non provengano da percorsi triennali con forte contenuto di Matematica. Verrà data particolare enfasi alle equazioni differenziali, alla soluzione dei problema agli autovalori, alla teoria delle perturbazioni e all’algebra dei commutatori, favorendo le applicazioni piuttosto che gli aspetti formali.

Risultati di apprendimento attesi
Obbiettivi attesi
1. Identificare gli aspetti principali di un problema complesso
2. Scomporre un problema complesso in sotto-problemi di più facile soluzione
3. Saper portare a termine un calcolo complesso in complete autonomia
Conoscenze acquisite
1. Saper identificare la tecnica più adatta per un determinate problema
2. Saper interpretare fisicamente il risultato di un calcolo matematico
Abilità acquisite
1. Familiarità con le piu’ comuni tecniche matematiche della Fisica
2. Familiarità con l’ approccio del “ problem solving”
Competenze
1. Saper risolvere le più comuni equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali della Fisica
2. Saper usare la serie e la trasformata di Fourier
3. Saper calcolare autovalori e autovettori
4. Conoscere il formalismo della Meccanica Quantistica

Prerequisiti
Sono richieste le conoscenze della Matematica di base a livello di quelle tipicamente ottenute nei corsi di primo livello nelle lauree scientifiche. Una conoscenza della fisica di base e’ consigliata. E' fortemente incoraggiata la partecipazione al precorso " Principles of Mathematics"
https://www.unive.it/data/insegnamento/332894
che e' stato pensato appunto come allineamento a questo corso.

Programma del Corso
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Definizioni generali, Equazioni differenziali del 1ordine e 1 grado, Metodo di separazione delle variabili, Equazioni differenziali esatte, Equazioni differenziali lineari del 1 ordine, Equazione di Bernoulli, Equazioni differenziali di ordine superiore, caso coefficient costanti, Soluzioni particolari
ANALISI DI FOURIER E FUNZIONE δ DI DIRAC
Idea base, Serie di Fourier, Variabili coniugate, Vantaggi, Esempi di uso della serie di Fourier, Forma complessa della serie di Fourier, Trasformata di Fourier, Funzione delta di Dirac e rappresentazioni, Proprieta’ della funzione delta di Dirac, rappresentazione integrale della delta di Dirac, Teorema di convoluzione, Teorema di Parseval, Trasformata di Fourier di una derivata, Trasformata di Fourier di una funzione reale, Integrali Gaussiani, Trasformata di Fourier di una Gaussiana, Soluzione dell’ equazione di diffusione
ANALISI VETTORIALE
Concetti base delle matrici, Trasformazioni ortogonali, Campi scalari, vettori e tensori, Operatori differenziali, Teorema di Gauss e divergenza, Teorema di Stokes e rotore.
SPAZI VETTORIALI
Indipendenza lineare e base, Trasformazioni lineari, Trasformazioni inverse e condizioni per la sua esistenza, Rappresentazione matriciale rispetto ad una base, Classi speciali di Matrici, Determinante e sue proprieta’, Trasformazione di similarita’, Sistema di equazioni lineari, Problema agli autovalori, Esempi di autovalori e autovettori, Modi normali di una molecola triatomica.
SPAZI DI HILBERT
Prodotto scalare e spazio pre-Hilbertiano, Spazi Hilbertiani, Operatori Hermitiani,
Operatori Unitari, Formalismo ket-bra di Dirac, Rappresentazioni {X} e {P}, Spazio Hilbertiano L2, Commutatori e Principio di indeterminazione di Heisemberg, Funzioni di operatori, algebra dei commutatori, Operatore di Translazione

Eventuali argomenti aggiuntivi (non obbligatori)
FUNZIONI DI GREEN ED EQUAZIONI INTEGRALI
CALCOLO DELLE VARIAZIONI

Suggested reading
G. B. Arfken and H.Weber Mathematical Methods for Physicists (Elsevier 2005) [BAS]

D. McQuarrie Mathematical Methods for Scientists and Engineering (University Science Books 2003) [BAS]

Esami
Scritto e orale
Descrizione esame
Il voto finale sarà la media del voto dell’ esame orale (che vale il 50% del punteggio totale) e della media dei voti riportati negli homeworks che verranno assegnati durante il semestre e che peseranno per l’ altro 50%. Tutti gli homeworks devo essere consegnati alla scadenza prevista, pena il non accesso alla parte orale al primo appello. Eventuali ritardi verranno penalizzati in termini di punteggi. Il tempo medio per ogni homework è di circa tre settimane.
Gli studenti che non avranno totalizzato la sufficienza negli homework potranno sostenere un esame scritto in aula al successivo appello utile. Un esito positivo, permetterà gli studenti di accedere all' esame orale. I risultati di homework e esami scritti hanno validità fino al Dicembre dell’anno solare successivo la fine del corso.
L' esame orale dura circa 40 minuti e consiste di due domande sugli argomenti trattati a lezione. La gradazione del voto è determinata da: conoscenza degli argomenti richiesti (20 punti), capacità di presentazione del problema richiesto (5 punti), sicurezza nell’ esposizione (5 punti).

Metodi didattici
Il corso e’ stato arricchito di 24 ore dedicate alle esercitazioni in cui vengono svolti una serie di interessanti applicazioni della teoria vista nella parte generale. Il corso e’ stato inoltre rivisto in dettaglio per sfruttare completamente tutte le opportunita’ fornite dai nuovi strumenti informatici sviluppati a seguito della recente crisi pandemica. Questo permettera’ anche di illustrare degli esempi piu’ complessi che non possono essere trattati analiticamente ma sono facilmente risolubili mediante soluzione numerica. Questo permettera’ lo student di essere esposto anche a strumenti di questo tipo. Tutte le lezioni verranno registrate e messe a disposizione nella piattaforma Moodle assieme a materiali didattici complementari.

Inglese

E' obbligatoria la frequenza ad almeno 80% delle lezioni frontali e delle esercitazioni. Verra' fornita una lista di presenza.

scritto e orale