NUMERICAL METHODS

L’insegnamento è una delle attività formative caratterizzanti del corso di Laurea Magistrale e consente allo studente di acquisire la conoscenza e la comprensione dei concetti fondamentali e applicativi dell'analisi numerica.

L'obiettivo dell’insegnamento è fornire conoscenze base di analisi numerica per problemi di algebra lineare, integrazione numerica ed equazioni differenziali

Alla fine del corso, lo studente sarà in grado di approssimare vari problemi di natura matematica e di scegliere l'algoritmo migliore per il problema affrontato.

Conoscenza e capacità di comprensione
Al termine del Corso gli studenti avranno acquisito nozioni e risultati relativi a metodi per la soluzione numerica di sistemi lineari e di problemi agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali e avranno acquisito tecniche relative alla implementazione degli algoritmi per la soluzione effettiva dei problemi trattati.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di usare le metodologie illustrate nel Corso per la soluzione numerica di un sistema lineare o di un problema agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali, e saranno in grado di prevederne le prestazioni a seconda delle caratteristiche del problema da trattare.

Autonomia di giudizio
Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di scegliere fra gli algoritmi che avranno studiato nel Corso quelli più adatti alla soluzione del problema considerato, avendo anche acquisito gli strumenti per apportare le modifiche che si rendessero necessarie per migliorarne le prestazioni.

Abilità comunicative
Gli studenti avranno maturato la capacità di esporre i concetti, le idee e le metodologie trattate nel Corso.

Capacità di apprendimento
Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di Laurea Magistrale, di aspetti più specialistici della algebra lineare numerica e della modellistica numerica per problemi differenziali, potendo comprenderne la terminologia specifica e identificarne i temi più rilevanti.

Analisi Matematica I, Algebra Lineare, Informatica, Analisi Matematica II

Algebra lineare numerica
Richiami su fattorizzazioni di matrici e sui metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari. Problema dei minimi quadrati. Sistemi con struttura a banda e a blocchi. Metodi del gradiente. Metodi di Krylov. Richiami sui metodi per il calcolo degli autovalori. Decomposizione ai valori singolari.

Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie
Problema di Cauchy. Richiami sui metodi ad un passo. Consistenza, zero-stabilita' e convergenza. Assoluta stabilita'. Metodi a più passi e a passo variabile. Cenni sul problema ai limiti e metodo delle differenze finite.

Metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali lineari
Tecniche di approssimazione in due dimensioni basate su differenze finite. Equazione di Poisson: metodi a 5 e 9 punti. Il problema di Cauchy per la equazione scalare del trasporto. Schemi numerici: Eulero in avanti, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, Upwind, Eulero all'indietro. Consistenza, stabilita' e convergenza. Approssimazione dei sistemi iperbolici ed equazione delle onde. Schema Leap-frog. Equazione del calore. Soluzione numerica: thetametodo e schema di Crank Nicolson.

Il corso prevede attività di Laboratorio per lo sviluppo di codici in MATLAB/Phyton per la soluzione numerica di problemi di algebra lineare e per la discretizzazione di problemi differenziali.

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, “Matematica numerica”, Springer,
RJ Leveque, "Finite Difference methods for ordinary and partial differential equations", SIAM book, 2007

Modalità di verifica dell’apprendimento

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova orale consistente nella discussione delle metodologie illustrate nel corso e della relativa implementazione in MATLAB.

Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza degli argomenti e dei metodi più rilevanti illustrati nel corso e deve essere in grado di discuterne l'implementazione in MATLAB.

Lezioni frontali (75%) - Esercizi e MATLAB Laboratorio (25%)

Inglese

Modalità di esame: Esame orale

orale