MATHEMATICS - 2

Questo è il secondo dei due moduli obbligatori del corso del primo anno di matematica. Si propone di fornire tutti gli strumenti fondamentali in calcolo e algebra lineare utilizzati nelle discipline economiche e manageriali, insieme a esempi e modelli di vocazione economica.

Si presta particolare attenzione ai problemi di massimizzazione e minimizzazione di funzioni di più variabili e a semplici ma rilevanti applicazioni in economia.

Alla fine di "Matematica II", gli studenti dovrebbero aver acquisito i fondamenti del calcolo in due (o più) variabili. In particolare, gli studenti dovrebbero aver acquisito le seguenti competenze.

a) Conoscenza e comprensione
a.1) Conoscenza delle definizioni di base del calcolo in più variabili e algebra lineare;
a.2) Interpretazione delle suddette definizioni in termini di proprietà geometriche, supportata da una serie di esempi cruciali.

b) Capacità di applicare conoscenze e comprensione
b.1) Capacità di calcolare/disegnare, per funzioni di più variabili: domini, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari, limiti (lungo restrizioni), approssimazioni lineari, piani tangenti;
b.2) Capacità di massimizzare/minimizzare una funzione a due variabili, mediante: proprietà di concavità/convessità; restrizione su un sottoinsieme compatto del dominio (Teorema di Weierstrass); metodo di Lagrange;
b.3) Capacità di applicare gli strumenti sopra descritti a esempi di vocazione economica/manageriale.

c) Abilità di apprendimento
c.1) Miglioramento della capacità di gestire un linguaggio formale, fare deduzioni logiche; potenziamento del pensiero razionale rigoroso;
c.2) Miglioramento della capacità di tradurre un problema in termini formali, risolverlo e interpretare la soluzione in termini del problema originale.

Il contenuto e la comprensione di "Matematica I" e tutti i suoi prerequisiti sono considerati noti.

a) Funzioni di più variabili
a.1) Sottoinsiemi di R^n: punti interni/di frontiera, insiemi aperti/chiusi, insiemi limitati, insiemi compatti.
a.2) Domini naturali e la loro rappresentazione nel piano. Grafici.
a.3) Curve di livello e la loro rappresentazione nel piano.

b) Derivate parziali
b.1) Derivate parziali del primo ordine.
b.2) Derivate parziali del secondo ordine, matrice Hessiana.
b.3) Approssimazione lineare; piano tangente.

c) Continuità e Differenziabilità in R^n
c.1) Definizione di funzione continua.
c.2) Continuità rispetto a differenziabilità. Funzioni della classe C^1. Esempi e controesempi.
c.3) Punti stazionari.

d) Ottimizzazione non vincolata in R^2
d.1) Definizione di massimi/minimi, locali e globali, in R^2.
d.2) Condizioni di ottimalità del primo ordine.
d.3) Funzioni concave/convesse; condizioni di ottimalità del secondo ordine.
d.4) Punti di flessione.

e) Funzioni implicite
e.1) Il teorema della catena.
e.2) Il teorema delle funzioni implicite e applicazioni.

f) Ottimizzazione vincolata in R^2
f.1) Teorema di Weierstrass. Applicazione a esempi.
f.2) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per una funzione di 2 variabili, soggetta a 1 vincolo di uguaglianza.
f.3) Applicazioni economiche: massimizzazione della produzione con vincoli di bilancio; minimizzazione delle spese con vincoli di produzione.

g) Algebra lineare
g.1) Vettori e indipendenza lineare.
g.2) Matrici e operazioni su matrici.
g.3) Determinanti. Espansione tramite cofattori.
g.4) Matrici invertibili. Inversa di una matrice.

h) Sistemi lineari
h.1) Eliminazione gaussiana. Rango di una matrice.
h.2) Teorema di Rouché-Capelli.
h.3) Soluzione di un sistema lineare mediante eliminazione gaussiana.
h.4) Applicazione a problemi economici/manageriali.

K. Sydsaeter, P. Hammond and A. Strom, Essential Mathematics for Economic Analysis, Pearson.


Inoltre, le slide delle lezioni, esercizi per casa  e i precedenti esami (risolti) sono disponibili sulla pagina moodle del corso.

La valutazione si basa su un esame scritto finale, che include tutti gli argomenti insegnati in Matematica I e Matematica II, e un esame orale opzionale.

L'esame consiste di 6 problemi, di cui 3 su argomenti di Matematica I e 3 su quelli di Matematica II, da risolvere in 2 ore e 30 minuti. Gli studenti dimostrano le capacità acquisite risolvendo tali problemi. In particolare gli si chede di giustificare dettagliatamente le risposte, sulla base di risultati teorici (definizioni e teoremi).

L'esame è a libri e appunti chiusi, ma agli studenti è consentito utilizzare una calcolatrice tascabile (le calcolatrici scientifiche che calcolano derivate e integrali, o tracciano grafici, non sono ammesse).

Students scoring 18/30 or above may register the grade or ask for the optional oral exam. With the oral exam the grade may be raised or diminished. Students scoring between 16/30 and 18/30 also may ask for the optional oral exam, and register grades reaching a minimum of 18/30 (after the orals).

Two partial exams are issued during the course time span, one covering the topics of Mathematics I and one covering those of Mathematics II. A score in each of the partial equal or above 8/30 is considered equivalent to the final written exam, with overall grade equal to the sum of the grades of the partials. (The rules for orals apply similarly).

Samples of Exams with complete solutions are found in the moodle page of the course.

L'apprendimento avviene attraverso lezioni frontali ed esercitazioni, oltre che con il ricevimento settimanale. In particolare, durante il corso, il ricevimento è collettivo. Gli studenti possono fare domande o semplicemente sedersi ad ascoltare le domande degli altri studenti e le risposte dell'insegnante. È anche possibile avere ulteriore aiuto su appuntamento.

Lo studio è supportato da materiali disponibili per il download sulla pagina Moodle del corso, inclusi:

a) l'insieme completo di slide/appunti delle lezioni;
b) un foglio settimanale di esercizi per casa;
c) testo e soluzione degli esami precedenti;
d) tutte le informazioni rilevanti sul corso e aggiornamenti in tempo reale.

Inglese

Gli studenti devono registrarsi nel corso correlato sulla piattaforma di apprendimento online dell'università moodle.unive.it.

Accessibilità, Disabilità e Inclusione
Alloggio e servizi di supporto per gli studenti con disabilità e studenti con specifiche difficoltà di apprendimento

Ca' Foscari si attiene alla Legge italiana (Legge 17/1999; Legge 170/2010) riguardante i servizi di supporto e gli alloggi disponibili per gli studenti con disabilità. Ciò include studenti con disabilità motorie, visive, uditive e altre disabilità (Legge 17/1999), e specifiche difficoltà di apprendimento (Legge 170/2010). Se hai una disabilità o un disturbo che richiede supporti (ad esempio, test alternativi, lettori, prenditori di appunti o interpreti), ti preghiamo di contattare gli Uffici per la Disabilità e l'Accessibilità nei Servizi agli Studenti: disabilita@unive.it.

scritto e orale

Questo insegnamento tratta argomenti connessi alla macroarea "Capitale umano, salute, educazione" e concorre alla realizzazione dei relativi obiettivi ONU dell'Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile