ALGEBRA LINEARE

Corso di base del corso di laurea triennale in Informatica.
Lo scopo del corso è quello di presentare le idee fondamentali dell'algebra lineare, abituando gradualmente lo studente ai concetti astratti della matematica.
Un'ampia varietà di applicazioni geometriche e pratiche accompagnerà l'introduzione delle nozioni teoriche.

Conoscenza e comprensione dei concetti fondamentali dell'algebra lineare: sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali, trasformazioni lineari, autovalori e autovettori, con riferimento alle applicazioni geometriche e computazionali dei concetti introdotti.
Capacità di applicare tali conoscenze alla risoluzione di esercizi mirati.

Matematica elementare della scuola superiore.

Campi e gruppi: definizione ed esempi.

Numeri complessi: introduzione, forma algebrica di un numero complesso, operazioni sui complessi e la loro struttura di campo, modulo di un numero complesso, disuguaglianza triangolare, teorema fondamentale dell'Algebra, forma polare di un numero complesso, formula di De Moivre, formula di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso, radici n-esime dell'unità e radici n-esime di un numero complesso.

Matrici: matrici mxn su un campo, matrici quadrate, matrici triangolari superiori e inferiori, matrici diagonali, matrici simmetriche, trasposta di una matrice, somma e prodotto di matrici.
Determinante di una matrice nxn: teorema di Laplace, teorema di Binet, condizione di invertibilità. Calcolo della matrice inversa con il determinante.
Rango e determinante. Teorema degli orlati.

Spazi vettoriali: spazio vettoriale reale, prodotto matrice-vettore, sottospazi vettoriali, intersezione di sottospazi, combinazioni lineari di vettori ed indipendenza lineare. Definizione di base, univocità della rappresentazione, esempi di basi, teorema del completamento, dimensione di sottospazi. Formulazione cartesiana e parametrica, prodotto scalare di R^n, basi ortogonali e ortonormali, matrici ortogonali, metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. sottospazi ortogonali, decomposizione tramite ortogonalità.

Applicazioni lineari: definizioni, matrice associata ad una applicazione lineare (fissate le basi), immagine e nucleo di un'applicazione lineare, iniettività e suriettività, teorema della dimensione, rango e nucleo

Sistemi lineari: definizioni, sistema lineare omogeneo e matrice completa, legame tra applicazioni lineari e sistemi lineari, teorema di struttura, teorema di Rouchè-Capelli.
Metodo di eliminazione di Gauss nella risoluzione di sistemi lineari, interpretato tramite matrici elementari, applicazioni al calcolo dell'inversa e del rango di una matrice.

Spazi affini: introduzione, piano e spazio euclideo. Sottospazi affini del piano e dello spazio euclideo, posizioni reciproche.

Matrici di cambiamento di base, endomorfismi e cambiamenti di base. Autovalori e autovettori, autospazi relativi e polinomio caratteristico. Basi di autovettori, diagonalizzabilità di un endomorfismo, primo e secondo criterio di diagonalizzabilità, teorema spettrale.

Applicazioni dell'algebra lineare

Slides e materiale del docente.

Altro testo:
A. Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Zanichelli 2000.

L'esame consiste di una prova scritta composta da esercizi teorici e pratici atti a verificare l'acquisizione delle competenze richieste.

Lezioni frontali erogate in presenza e trasmesse in streaming.
Si prevede un tutorato dedicato allo svolgimento di esercizi.

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