ALGEBRA LINEARE

Corso di base del corso di laurea triennale in Informatica.
Lo scopo del corso è quello di presentare le idee fondamentali dell'algebra lineare, abituando gradualmente lo studente ai concetti astratti della matematica.
Un'ampia varietà di applicazioni geometriche e pratiche accompagnerà l'introduzione delle nozioni teoriche.

Conoscenza e comprensione dei concetti fondamentali dell'algebra lineare: sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali, trasformazioni lineari, autovalori e autovettori, applicazioni geometriche e computazionali dei concetti introdotti.
Capacità di applicare tali conoscenze alla risoluzione di esercizi mirati.

Matematica elementare della scuola superiore.

Campi, definizione ed esempi.

Numeri complessi: introduzione, forma algebrica di un numero complesso, operazioni sui complessi e la loro struttura di campo, modulo di un numero complesso, disuguaglianza triangolare, teorema fondamentale dell'Algebra, forma polare di un numero complesso, formula di De Moivre, formula di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso, radici n-esime dell'unità e radici n-esime di un numero complesso.
Introduzione agli spazi vettoriali: segmenti orientati, vettori applicati, struttura di spazio vettoriale dell'insieme dei vettori applicati, coordinate e isomorfismo con \(\mathbb{R}^n\), cambiamento di base, lunghezza o modulo di un vettore.
Prodotto scalare di \(\mathbb{R}^n\): definizione, proprietà, significato geometrico, applicazioni. Angolo tra due vettori di \(\mathbb{R}^n\).

Equazioni lineari.
Rette nel piano: equazioni parametriche e cartesiane, retta per un punto parallela a un vettore dato, retta per due punti. Passaggio da equazioni parametriche a equazione cartesiana.
Piani nello spazio: equazione cartesiana ed equazioni parametriche di un piano per l'origine, piano non passante per l'origine, piano per 3 punti non allineati. Mutua posizione di due piani nello spazio.
Rette nello spazio.

Matrici: matrici mxn su un campo, matrici quadrate, matrici triangolari superiori e inferiori, matrici diagonali, matrici simmetriche, trasposta di una matrice, matrice a scala.

Sistemi lineari.
Sistemi triangolari superiori: condizioni di esistenza di un'unica soluzione, esempi di risoluzione.
Operazioni elementari su un sistema lineare. Metodo di Gauss per la risoluzione di un sistema lineare.
Matrici singolari e non singolari al variare di un parametro. Riduzione a scala di un sistema omogeneo.

Spazio vettoriale reale: definizione ed esempi.

Prodotto di una matrice per un vettore, prodotto di matrici. Proprietà della somma, del prodotto per scalari e del prodotto di matrici. Prodotto di matrici a blocchi.
Matrici e sistemi lineari: le matrici elementari. Matrici invertibili e matrici inverse. Metodo di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa.

Sottospazi vettoriali: definizione ed esempi. Combinazioni lineari e spazio generato da un insieme di vettori.
Concetto di lineare dipendenza e lineare indipendenza, base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Basi ortonormali: definizione e costruzione col metodo di Gram-Schmidt.
Sottospazi ortogonali.
Matrici ortogonali.

Trasformazioni lineari: definizione ed esempi. Matrice associata ad un'applicazione lineare.
Nucleo e immagine di una trasformazione lineare: proprietà e legame con iniettività e suriettività. Rango di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione.
Teorema di struttura e teorema di Rouché-Capelli.
Matrice del cambiamento di base.
Duale di uno spazio vettoriale.

Determinante di una matrice nxn: teorema di Laplace e prime proprietà, teorema di Binet, condizione di invertibilità. Algoritmo di Gauss e determinante. Teorema di Cramer. Calcolo della matrice inversa con il determinante.
Rango e determinante. Teorema degli orlati.
Prodotto vettoriale, prodotto misto di \(\mathbb{R}^3\) e interpretazione geometrica del determinante di una matrice 3x3.

Autovalori, autovettori e autospazi: definizioni ed esempi di calcolo.
Endomorfismi e matrici diagonalizzabili.
Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori: definizione ed esempi di calcolo.
Primo e secondo criterio di diagonalizzabilità.
Endomorfismi simmetrici e teorema spettrale.

Applicazioni dell'algebra lineare: l'algoritmo di Google, la successione di Fibonacci, crittografia.

Appunti del docente.

Altri testi:
M. Abate, C. de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Seconda Edizione, McGraw-Hill, 2010.
A. Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Zanichelli 2000.

L'esame consiste di una prova scritta composta da esercizi teorici e pratici atti a verificare l'acquisizione delle competenze richieste.

Lezioni frontali erogate in modalità telematica con il supporto degli strumenti di e-learning.
Gli esercizi verranno svolti a lezione ed assegnati per casa con regolarità.
Il corso prevede un tutorato specialistico di 45 ore.

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