ALGEBRA LINEARE

Questo corso è una delle attività di base del corso di laurea triennale in Informatica e il suo scopo è di presentare le idee fondamentali e gli aspetti computazionali dell'algebra lineare, abituando gradualmente lo studente ai concetti astratti della matematica. Questi ultimi sono bilanciati da un'ampia varietà di applicazioni e da una particolare enfasi agli aspetti geometrici e computazionali del soggetto.
Il corso fornisce le principali nozioni necessarie a sviluppare applicazioni che usano la programmazione lineare, l'intelligenza artificiale e la visione artificiale.

Conoscenza e comprensione:
- conoscenza e comprensione dei concetti fondamentali di algebra lineare;
- comprensione della complessità di risolvere sistemi lineari complessi;
- conoscenza di metodologie differenti per il calcolo dei determinanti, immagine e nucleo di trasformazioni lineari, autovalori e autovettori di matrici.

Abilità di applicare conoscenza e comprensione:
-per risolvere sistemi lineari complessi;
- capacità di calcolare linearmente.

Matematica elementare della scuola superiore

1. Campi numerici. Esempi di campi numerici: il campo dei numeri reali; il campo dei numeri complessi; il campo dei numeri interi modulo un numero primo p.
2. Numeri complessi: parte reale ed immaginaria, coniugato di un numero complesso. Modulo di un numero complesso. Prodotto e somma di numeri complessi. Rappresentazione trigonometrica: piano complesso. Rappresentazione esponenziale. Radici n-sime dell'unita'.
3. Introduzione ai vettori. Grandezze fisiche e vettori. La definizione di spazio vettoriale con somma vettoriale e prodotto per uno scalare.
4. Prodotto interno (o scalare) di due vettori del piano o dello spazio. Proprieta' del prodotto interno. Lunghezza di un vettore. Caratterizzazione della perpendicolarita' con il prodotto interno. Disuguaglianza di Schwartz. Caratterizzazione del coseno dell'angolo formato da due vettori con il prodotto interno. Alcune applicazioni alla geometria euclidea.
5. Rette nel piano. Equazione lineare di una retta. Equazione parametrica di una retta. Retta passante per l'origine e perpendicolare ad un dato vettore. Retta parallela ad una retta passante per l'origine. Retta passante per un punto e parallela (alla retta determinata da) ad un dato vettore. Retta passante per due punti.
6. Rette e piani nello spazio. Equazione lineare di un piano. Equazione parametrica di un piano. Piano passante per l'origine e perpendicolare ad un dato vettore. Piano parallelo ad un piano passante per l'origine. Piano passante per tre punti non allineati.
7. Sistemi Lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Criteri da applicare nel metodo di eliminazione di Gauss.
8. Matrici. Matrice quadrata, simmetrica, diagonale, triangolare superiore e inferiore. Trasposta di una matrice. Lo spazio vettoriale delle matrici di tipo mxn. Prodotto di matrici. Proprieta' del prodotto di matrici. Moltiplicazione di matrici a blocchi.
9. Matrici e sistemi lineari. Matrici elementari, operazioni elementari e metodo di eliminazione di Gauss. Matrice a scala e matrice ridotta. Riduzione di una matrice in forma a scala e in forma ridotta. Applicazioni ai sistemi lineari.
10. Spazi vettoriali. Sottospazi. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
11. Trasformazioni lineari. Teorema della dimensione. Matrice di una trasformazione lineare. Trasformazione lineare definita da una matrice. Sottospazio vettoriale delle colonne (righe) di una matrice. Isomorfismi e cambi di base. Sistemi lineari e trasformazioni lineari.
12. Interpretazione geometrica del determinante come area di un parallelogramma e come volume di un parallelepipedo. Prodotto vettoriale di due vettori dello spazio. Determinante di una matrice quadrata di ordine n. Determinante della matrice trasposta, del prodotto di due matrici. Regola di Cramer. Calcolo della matrice inversa con la regola di Cramer, con il metodo dei cofattori, e con il metodo di Gauss-Jordan.
13. Autovalori e autovettori. Autospazi. Polinomio caratteristico. Radici del polinomio caratteristico. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Autovettori di autovalori distinti. Diagonalizzazione di una matrice. Basi di autovettori. Teorema fondamentale. Esempi: algoritmo di Google. Numeri di Fibonacci.

Testo principale:
A. Salibra: Appunti di Algebra Lineare, 2018 (in italiano). http://www.dsi.unive.it/~salibra/appunti-algebra-lineare2017.pdf
Altri testi di riferimento:
M. Abate, C. de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Seconda Edizione, McGraw-Hill, 2010.
A. Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Zanichelli 2000.
Claretta Carrara, Esercizi di Algebra Lineare, http://www.dsi.unive.it/$\sim$acarraro/Esercizi\_algebra\_lineare\_2.pdf

L'esame consiste di una prova scritta. La prova dura tre ore ed è composta da quattro esercizi.
Gli esercizi verificano:
1) la capacità di calcolare gli oggetti geometrici fondamentali del piano e dello spazio;
2) la capacità di calcolare algebricamente con matrici e vettori, e di risolvere sistemi lineari;
3) la conoscenza dei concetti fondamentali dell'algebra lineare: basi, trasformazioni lineari, determinanti e ortogonalità;
4) la capacità di calcolare autovalori, e autovettori di trasformazioni lineari.

Durante la prova scritta non \`e permesso l'uso di appunti, libri e strumenti elettronici.

Lezioni con uso di lavagna luminosa e lavagna tradizionale.
Compiti scritti a casa ed esercizi in classe permetteranno una introduzione soft alle tematiche dell'algebra lineare:
equazioni di rette e piani. Uso del calcolo matriciale per risolvere problemi lineari. Calcolo di autovalori e autovettori.

Italiano

scritto